Как да изчислите обема на сферичната капачка, като използвате изчислението

Общият подход за изчисляване на обемите на обекти с извити повърхности се основава на основната теория на интеграцията. По същество триизмерният обект се нарязва на по-малки и по-малки резени и се приближава към обема на всяка от тези части, използвайки по-проста форма. За да намерите обема на сферичната капачка, най-простата формулировка е да си представите купчина широки, къси цилиндри един върху друг. Обемът се изчислява като височината на всяка от тези цилиндри до нула, генерирайки по-точни приближения.

Писане на интеграла

Определете диаметъра или радиуса на сферичната си капачка в най-широката й част.

Определете височината на сферичната капачка.

Направете квадратния корен на числата в стъпки 1 и 2 и ги добавете. Разделете това число с два пъти броя на стъпка 2. Това ви дава R, радиуса на сферата, от която е изрязана сферичната капачка.

Напишете "V =", последван от символа за интеграция.

Извадете номера, който сте изчислили в стъпка 2 от R, и напишете този номер в долната част на интеграционния символ.

Напишете стойността на R в горната част на интеграционния символ.

Напишете pi, последван от скоба след интеграционния символ.

Направете квадратния корен на стойността на R и го запишете след скобите, следван от знака минус.

Напишете "x ^ 2", последвано от затварящите скоби. Просто напишете комплекта с "dx".

Оценяване на интеграла

Умножете pi в скобите, което води до изваждане на pi * x ^ 2 от константа.

Оценяваме първия термин на интеграла чрез умножаване на константата по височината на сферичната капачка (всъщност, R - a, двете крайности на интеграла) и преместването му извън интеграла. Уравнението трябва да бъде във формата "V = C (R - a) - [определено интегрално от a до R] pi * x ^ 2 dx", където C е квадратният корен на R пъти pi и R е височината на сферичната капачка.

Останалият интеграл се оценява на 1 / 3_pi_ (R ^ 3), 1/3_pi_ (a ^ 3). Така общата формула за обема на сферичната капачка е V = C (R-a), 1/3_pi (R ^ 3) + 1/3_pi_ (a ^ 3), където С са вече описани в етап 2 и R е както е описано в Етап 3 на предишния раздел.

Заменяйки R минус височината на сферичната капачка ("h") за a, оценявайки кубовете и опростявайки резултатите във V = 1 / 3_pi_h ^ 2 * (3R - h), стандартната алгебрична формула за обема на сферична капачка.